A Ciência dos Fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. Suas imagens são objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte.

Tags: matematica arte fractal caos
25/02/2004 20:30
De: carmen maciel
IP: 200.216.123.254-

Fractais

Oi pessoal
´Continuo querendo imagens fractais para ser usadas em minhas pesquisas e trabalhos plasticos 9encáustica)
Beijão
Carmen Maciel
09/08/2004 00:31
De: Thiago Prudêncio
IP: 200.175.224.33-

Previsões

Embora a teoria do caos não seja uma teoria determinística, no sentido canônico do termo, podemos ser capazes de prever comportamentos e verificar padrões, tendo em vista probabilidades. Primeiro, temos um modelo, seja ele de economia ou de qualquer outra área com processos aleatórios, esse modelo é sustentado matematicamente por um sistema de equações diferenciais, que podem ser estocásticas, para incluir variações de parâmetros com o tempo, o que é preciso em economia. Prever padrões na evolução de sistemas dinâmicos é identificar onde estão as bacias de atração, os atratores e os repulsores, o caos está ali quando o sistema se vê atraído por um atrator fractal, atrator estranho, e o surgimento deste liga-se às condições iniciais e às flutuações estocásticas do sistema. Mas conhecendo qualitativamente os regimes em que o sistema atua, podemos entender também qualitativamente como o sistema evolui, podemos encontrar os regimes de estabilidade, se existirem. Sabendo quando ocorre caos em um sistema, podemos também estar aptos a enxergar a evolução do sistema num outro regime, e consequentemente fazer previsões, probabilisticamente, enfatizemos.
26/10/2003 18:18
De: livia
IP: 200.146.200.125-200.146.200.87

Uso de matrizes e vetores em fractais

Faço o curso de ciencia da computação e terei q apresentar um trabalho sobre fractais no proximo mes. O problema é q preciso associar matrizes e vetores com fractais e todos os sites q já pesquisei nao abordam o assunto.Se alguem souber algo por favor me envie obrigada
09/08/2004 14:57
De: Thiago Prudêncio
IP: 200.175.179.241-

Fractais, a face Matemática

Andei estudando um pouquinho e resolvi apresentar algo ao Inforum, para discussões e sugestões proveitosas. Voilà.
O início do estudo da teoria geométrica da medida começa com Hausdorff em 1919, seguido por Besicovitch e Federer. Seus trabalhos entretanto eram demasiado técnicos para pessoas de outras áreas, geralmente só matemáticos tinham acesso. O ponto de bifurcação no estudo de dimensão surge então quando Mandelbrot passa a fazer uso de conjuntos com dimensão fracionária para modelar fenômenos científicos numa vastidão de áreas da ciência, cunhando o termo fractal.
    Mandelbrot definiu um fractal como um conjunto com dimensão de Hausdorff estritamente maior que sua dimensão topológica. Contudo, esta definição não é de todo apropriada uma vez que exclui alguns conjuntos altamente irregulares no espírito de fractais.
    Após Mandelbrot, o estudo de fractais foi disseminado. Outras definições de dimensão foram propostas. Em 1981, Tricot estudou 12 definições de dimensão em seu artigo intitulado “Douze definitions de la densité logarithmique”. A maioria das definições tem alguma restrição sobre a delta-cobertura considerada na definição de medida. Em algumas situações essas definições são mais apropriadas para aplicações que a dimensão de Hausdorff, como enfatizou Yomdin em 1983 no artigo “The geometry of critical and near-critical values of differentiable mappings”.
    Uma das definições alternativas de dimensão é a dimensão em caixa (Box dimension) proposta em 1961 por Kolmogorov. A dimensão em caixa é definida de modo análogo à de Hausdorff e é sempre maior ou igual a esta última. Infelizmente, embora seja fácil trabalhar com ela, a dimensão em caixa traz o inconveniente de ser igual para um conjunto e sua aderência. Assim, só vale a pena no caso de conjuntos fechados. Até mesmo para conjuntos compactos ela pode ser diferente da dimensão de Hausdorff. Mas há casos em que a dimensão em caixa dá resultados mais naturais, como mostrou Yomdin, no mesmo artigo citado acima.
    Um fato importante é que ao contrário da dimensão topológica, a dimensão de Hausdorff não é invariante a homeomorfismos, i.e., aplicações bijetivas contínuas com inversas contínuas. Todavia, a dimensão de Hausdorff é invariante às chamadas quasi-isometrias ou lipeomorfismos.
    Uma outra definição importante de dimensão é a dimensão de similaridade. Ela é única e positiva para conjuntos auto-similares. Conjuntos dessa natureza com dimensão fracionária são chamados fractais auto-similares, muitos deles encontrados por Mandelbrot ao fazer uso de processos iterativos usando um polígono inicial padrão. Hutchinson generalizou esse processo.
    Na definição de um conjunto auto-similar, há uma definição subjacente, a de similitude. Similitude é a composição de uma translação e uma homotetia. A definição de conjuntos auto-similares é um pouco técnica e requer alguns teoremas prévios, por isso não vou tentar explicar tudo, mesmo porque não sei tudo, rs. Mas vamos lá.
    Seja K um conjunto compacto invariante por um conjunto finito de contrações, o que equivale a dizer que a união de todas as contrações, desse conjunto, em K é o próprio K; um teorema garante que somente K pode ser invariante a esse conjunto, K é único.
    Agora, um ponto importante diz respeito à definição de métrica para medir distâncias entre conjuntos. Uma definição apropriada nesse sentido é a métrica de Hausdorff. Estamos acostumados com a definição de distância entre pontos, na verdade mais acostumados com a distância euclideana entre pontos, mas existem outras topologicamente equivalentes e mais simples.  Pode-se por extensão definir distância entre um ponto e um conjunto como o ínfimo das distâncias entre os pontos do conjunto e o ponto dado. A partir dessa definição, chega-se  à métrica de Hausdorff que trata da distância entre dois conjuntos compactos não vazios e é definida como segue: dados dois conjuntos compactos não-vazios E e F, a métrica de Hausdorff sobre E e F é o supremos das distâncias dos pontos de E a F e das distâncias dos pontos de F a E.
    Seja F um conjunto compacto não vazio e S a união das contrações e seja K um ponto fixo atrator de S, i. e., S(K)=K, se iterarmos  S(F)  n vezes com n tendendo a infinito, então esse conjunto converge para K na métrica de Hausdorff. Um teorema importante afirma que se K é auto-similar então sua dimensão de Hausdorff coincide com sua dimensão de similaridade.
    Exemplos de conjuntos auto-similares são: o conjunto de Cantor, invariante sob as similitudes S(x)=x/3 e S’(x)=(x+2)/3, com dimensão de Hausdorff igual a log2/log3; a curva de Koch gerada por quatro homotetias com razão de contração 1/3 cada e com dimensão de Hausdorff igual a log4/log3; e a curva de Peano, de dimensão de Hausdorff igual a 2.
    Uma outra definição importante é a de equivalência de Lipschitz de curvas auto-similares. Seja um mapa f inversível e Lipschitz (não vou definir o que é ser Lipschitz, não cabe aqui, embora não seja muito complicada, basta dizer que essa propriedade é como contração de medida quando se vai de um espaço para outro através da aplicação f). Dizemos então que f é uma quasi-isometria. Quasi-isometrias são casos especiais de homeomorfismos, enquanto que difeomorfismos são casos especiais de  quasi-isometrias. Se dois conjuntos são quasi-isométricos, i.e., se existe uma isometria que leva um no outro, então eles têm mesma dimensão de Hausdorff. O inverso é válido para conjuntos auto-similares, embora não o seja em geral.
Vou parar por aqui agora. Depois continuamos. Há muito o que estudar sobre esse tema. Temos por exemplo, os quasi-círculos, tipos especiais de curvas de Jordan, que têm propriedades que permitem entender certas classes de fractais, temos também o teorema de Ruelle que determina a dimensão de Hausdorff para uma classe de mapas analíticos do conjunto de Julia, e também uma classe recém descoberta de mapas não-analíticos com dimensão diferente da encontrada por Ruelle e que  também pertence ao conjunto de Julia. Além disso, ainda há a relação da teoria dos fractais com o cálculo diferencial, que permitiu entender mais claramente as funções de Weierstrass e outros tipos de funções estranhas, contínuas mas não diferenciáveis. Uma nova definição de classes C (C epsilon)  para funções cujo gráfico tem características fractais foi proposta, a fim de se ter condições menos restritivas de diferenciabilidade, de maneira semelhante à definição de integral de Lebesgue que torna menos restritivas as definições de integração impostas pela definição de integral de Riemann. Vale realmente a pena estudar essas coisas, rs.
A geometria fractal é realmente belíssima, pode tanto agradar visualmente como num campo não acessível à visão, o campo mais abstrato.
Um livro interessante, para quem quer aprender caos e introduzir-se matematicamente aos conjuntos de Julia e de Mandelbrot, conjuntos complexos, é o livro do Devaney, "Introduction to chaotic dynamical systems", também há artigos sobre fractais que são bastante instrutivos e introdutórios, o que facilita muito, infelizmente a maior parte da literatura especializada sobre o assunto encontra-se em outros idiomas, mas esse é um detalhe que pode ser superado.
Até breve.
Thiago Prudêncio.
03/01/2003 11:52
De: shirley goms de souza (shirleyilh@uol.com.br)
IP: 200.254.67.124

Re: Fractais na Contabilidade

Estou comecando a pesquisar sobre fractais, irei ver o que vc quer e se encontrar enviarei.
Estou pesquisando sobre o uso de fractais em educação, mais especificamente aulas de matemática. Se vc tiver algo colabore comigo.
Obrigada
Shirley
08/07/2003 18:26
De: Mara Prado Feitosa (prado794_@hotmail.com)
IP: 200.167.83.234-10.65.3.154

Re: Re: Re: Fractais e biologia

Sou estudande de Biologia e gostaria de saber mais sobre fractais em Biologia, pois sou do interior do Maranhào e tenho dificuldade em ter acesso a bibliografias especializadas.
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