Fractais: Arte ou Ciência?

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A Ciência dos Fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. Suas imagens são objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte.

Tags: matematica arte fractal caos
16/10/2003 09:54
De:
IP: 195.23.102.54-unknown

Re: Teoria do Caos

Quando andava a na universidade era um grande entusiasta dos fractais e cheguei a apresentar uma palestra sobre o assunto. No entanto, quando saí não desenvolvi mais o assunto. Restam-me alguns apontamentos e um conjunto bonito de imagens que posso enviar por email.
Agora a propósito, por acaso não viveu na ilha de S.Tomé? Havia lá um comerciante chamado Alfeirão...
Adelino
16/02/2004 22:13
De: Laércio (laerciojus@hotmail.com)
IP: 201.4.239.127-

Re: Re: Re: Re: Re: Re: Fractais aplicados à sistemas biológicos


   Odi,
Se encontrares alguma coisa sobre rugosidade me envie, veja se também encontra dimenssão de housdoff vai te ajudar muito, princiapalmente, se tu fores da área de geografia... Farei neste período uma disciplina chamada: elemneots de geologia. Se quiseres que te mande alguma coisa fique na disposição... Eu faço ciências-hab. matemática e direito, mas faço disciplinas em outra áreas devido ao meu primeiro curso... Ah! Ver se pesquisas sobre dimenssão topológica...
21/12/2003 17:48
De: mayumi
IP: 200.202.4.85-

Re: Monografia fractais

 Oi Laercio!Tudo certo?
 Bom, minha monografia foi tb, sobre fractais e caos...eu tenho um material...se vc quiser eu dou algumas dicas de livros, artigos, etc.Que curso vc faz?Só para saber, pois daí dá para "direcionar" melhor...ok?
 Mayumi
21/09/2006 22:33
De: JOSÉ ABELARDO FAÇANHA WENCESLAU
IP: 201.9.58.20

Re: Aprendendo Matemática com Cabri-Géomètre II (Volumes I e II)

Gostaria de saber se este livro abrange os conteúdos de geometria espacial( tetraedros, áreas, e volumes de figuras geométricas) além de figuras como os poliedros.
Cada livro tem quantas páginas? Você pode parcelar este valor? Em quantas vezes?
Sou professor de ensino médio e gostaria de adquiri-lo.
Para o seguinte endereço: Fortaleza- Ceará
09/08/2004 14:57
De: Thiago Prudêncio
IP: 200.175.179.241-

Fractais, a face Matemática

Andei estudando um pouquinho e resolvi apresentar algo ao Inforum, para discussões e sugestões proveitosas. Voilà.
O início do estudo da teoria geométrica da medida começa com Hausdorff em 1919, seguido por Besicovitch e Federer. Seus trabalhos entretanto eram demasiado técnicos para pessoas de outras áreas, geralmente só matemáticos tinham acesso. O ponto de bifurcação no estudo de dimensão surge então quando Mandelbrot passa a fazer uso de conjuntos com dimensão fracionária para modelar fenômenos científicos numa vastidão de áreas da ciência, cunhando o termo fractal.
    Mandelbrot definiu um fractal como um conjunto com dimensão de Hausdorff estritamente maior que sua dimensão topológica. Contudo, esta definição não é de todo apropriada uma vez que exclui alguns conjuntos altamente irregulares no espírito de fractais.
    Após Mandelbrot, o estudo de fractais foi disseminado. Outras definições de dimensão foram propostas. Em 1981, Tricot estudou 12 definições de dimensão em seu artigo intitulado “Douze definitions de la densité logarithmique”. A maioria das definições tem alguma restrição sobre a delta-cobertura considerada na definição de medida. Em algumas situações essas definições são mais apropriadas para aplicações que a dimensão de Hausdorff, como enfatizou Yomdin em 1983 no artigo “The geometry of critical and near-critical values of differentiable mappings”.
    Uma das definições alternativas de dimensão é a dimensão em caixa (Box dimension) proposta em 1961 por Kolmogorov. A dimensão em caixa é definida de modo análogo à de Hausdorff e é sempre maior ou igual a esta última. Infelizmente, embora seja fácil trabalhar com ela, a dimensão em caixa traz o inconveniente de ser igual para um conjunto e sua aderência. Assim, só vale a pena no caso de conjuntos fechados. Até mesmo para conjuntos compactos ela pode ser diferente da dimensão de Hausdorff. Mas há casos em que a dimensão em caixa dá resultados mais naturais, como mostrou Yomdin, no mesmo artigo citado acima.
    Um fato importante é que ao contrário da dimensão topológica, a dimensão de Hausdorff não é invariante a homeomorfismos, i.e., aplicações bijetivas contínuas com inversas contínuas. Todavia, a dimensão de Hausdorff é invariante às chamadas quasi-isometrias ou lipeomorfismos.
    Uma outra definição importante de dimensão é a dimensão de similaridade. Ela é única e positiva para conjuntos auto-similares. Conjuntos dessa natureza com dimensão fracionária são chamados fractais auto-similares, muitos deles encontrados por Mandelbrot ao fazer uso de processos iterativos usando um polígono inicial padrão. Hutchinson generalizou esse processo.
    Na definição de um conjunto auto-similar, há uma definição subjacente, a de similitude. Similitude é a composição de uma translação e uma homotetia. A definição de conjuntos auto-similares é um pouco técnica e requer alguns teoremas prévios, por isso não vou tentar explicar tudo, mesmo porque não sei tudo, rs. Mas vamos lá.
    Seja K um conjunto compacto invariante por um conjunto finito de contrações, o que equivale a dizer que a união de todas as contrações, desse conjunto, em K é o próprio K; um teorema garante que somente K pode ser invariante a esse conjunto, K é único.
    Agora, um ponto importante diz respeito à definição de métrica para medir distâncias entre conjuntos. Uma definição apropriada nesse sentido é a métrica de Hausdorff. Estamos acostumados com a definição de distância entre pontos, na verdade mais acostumados com a distância euclideana entre pontos, mas existem outras topologicamente equivalentes e mais simples.  Pode-se por extensão definir distância entre um ponto e um conjunto como o ínfimo das distâncias entre os pontos do conjunto e o ponto dado. A partir dessa definição, chega-se  à métrica de Hausdorff que trata da distância entre dois conjuntos compactos não vazios e é definida como segue: dados dois conjuntos compactos não-vazios E e F, a métrica de Hausdorff sobre E e F é o supremos das distâncias dos pontos de E a F e das distâncias dos pontos de F a E.
    Seja F um conjunto compacto não vazio e S a união das contrações e seja K um ponto fixo atrator de S, i. e., S(K)=K, se iterarmos  S(F)  n vezes com n tendendo a infinito, então esse conjunto converge para K na métrica de Hausdorff. Um teorema importante afirma que se K é auto-similar então sua dimensão de Hausdorff coincide com sua dimensão de similaridade.
    Exemplos de conjuntos auto-similares são: o conjunto de Cantor, invariante sob as similitudes S(x)=x/3 e S’(x)=(x+2)/3, com dimensão de Hausdorff igual a log2/log3; a curva de Koch gerada por quatro homotetias com razão de contração 1/3 cada e com dimensão de Hausdorff igual a log4/log3; e a curva de Peano, de dimensão de Hausdorff igual a 2.
    Uma outra definição importante é a de equivalência de Lipschitz de curvas auto-similares. Seja um mapa f inversível e Lipschitz (não vou definir o que é ser Lipschitz, não cabe aqui, embora não seja muito complicada, basta dizer que essa propriedade é como contração de medida quando se vai de um espaço para outro através da aplicação f). Dizemos então que f é uma quasi-isometria. Quasi-isometrias são casos especiais de homeomorfismos, enquanto que difeomorfismos são casos especiais de  quasi-isometrias. Se dois conjuntos são quasi-isométricos, i.e., se existe uma isometria que leva um no outro, então eles têm mesma dimensão de Hausdorff. O inverso é válido para conjuntos auto-similares, embora não o seja em geral.
Vou parar por aqui agora. Depois continuamos. Há muito o que estudar sobre esse tema. Temos por exemplo, os quasi-círculos, tipos especiais de curvas de Jordan, que têm propriedades que permitem entender certas classes de fractais, temos também o teorema de Ruelle que determina a dimensão de Hausdorff para uma classe de mapas analíticos do conjunto de Julia, e também uma classe recém descoberta de mapas não-analíticos com dimensão diferente da encontrada por Ruelle e que  também pertence ao conjunto de Julia. Além disso, ainda há a relação da teoria dos fractais com o cálculo diferencial, que permitiu entender mais claramente as funções de Weierstrass e outros tipos de funções estranhas, contínuas mas não diferenciáveis. Uma nova definição de classes C (C epsilon)  para funções cujo gráfico tem características fractais foi proposta, a fim de se ter condições menos restritivas de diferenciabilidade, de maneira semelhante à definição de integral de Lebesgue que torna menos restritivas as definições de integração impostas pela definição de integral de Riemann. Vale realmente a pena estudar essas coisas, rs.
A geometria fractal é realmente belíssima, pode tanto agradar visualmente como num campo não acessível à visão, o campo mais abstrato.
Um livro interessante, para quem quer aprender caos e introduzir-se matematicamente aos conjuntos de Julia e de Mandelbrot, conjuntos complexos, é o livro do Devaney, "Introduction to chaotic dynamical systems", também há artigos sobre fractais que são bastante instrutivos e introdutórios, o que facilita muito, infelizmente a maior parte da literatura especializada sobre o assunto encontra-se em outros idiomas, mas esse é um detalhe que pode ser superado.
Até breve.
Thiago Prudêncio.
26/02/2003 04:38
De: Luiz
IP: 200.158.196.95

Re: Re: Teoria do Caos

Simone boa noite. estudo a aplicação dos fractais em gráficos do mercado finaceiro.
Caso interesse pelo assunto, poderíamos trocar algumas opiniões.
Sou trader e estudo gráficos a 5 anos.
Um forte abraço,
pddl
01/04/2008 16:58
De: Sergio
IP: 189.6.75.34

Butterfly Effect

The Butterfly Effect ist eine der faszinierendsten der Mathematik, denn Zahlen infinitesimais kann dazu führen, dass wichtige Veränderungen in der das endgültige Ergebnis
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