A Ciência dos Fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. Suas imagens são objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte.

Tags: matematica arte fractal caos
09/08/2004 00:31
De: Thiago Prudêncio
IP: 200.175.224.33-

Previsões

Embora a teoria do caos não seja uma teoria determinística, no sentido canônico do termo, podemos ser capazes de prever comportamentos e verificar padrões, tendo em vista probabilidades. Primeiro, temos um modelo, seja ele de economia ou de qualquer outra área com processos aleatórios, esse modelo é sustentado matematicamente por um sistema de equações diferenciais, que podem ser estocásticas, para incluir variações de parâmetros com o tempo, o que é preciso em economia. Prever padrões na evolução de sistemas dinâmicos é identificar onde estão as bacias de atração, os atratores e os repulsores, o caos está ali quando o sistema se vê atraído por um atrator fractal, atrator estranho, e o surgimento deste liga-se às condições iniciais e às flutuações estocásticas do sistema. Mas conhecendo qualitativamente os regimes em que o sistema atua, podemos entender também qualitativamente como o sistema evolui, podemos encontrar os regimes de estabilidade, se existirem. Sabendo quando ocorre caos em um sistema, podemos também estar aptos a enxergar a evolução do sistema num outro regime, e consequentemente fazer previsões, probabilisticamente, enfatizemos.
02/12/2003 12:16
De: Thiago Prudêncio
IP: 164.41.12.15-

Caos Quântico

Mayumi,
Já ouviu falar sobre caos quântico? Esta é uma área da física ainda em desenvolvimento. O problema é que no domínio quântico o conceito clássico de trajetória já não tem o mesmo sentido. Por conseguinte, há a necessidade de uma definição precisa de caos, e isto ainda está sendo estabelecido. A teoria de sistemas dinâmicos caóticos tem de abarcar a teoria de equações diferenciais estocásticas, que é o palco onde se evidenciam as equações de Focker-Planck, que descrevem processos dissipativos e não-markovianos. Estas equações tem um papel rico na descrição de fenômenos estocásticos como o movimento browniano normal e anômalo. No domínio quântico, a equação mais geral é a equação de von Neumann, a equação de Schrödinger é um caso particular dela. Ao que parece,não tenho muita certeza, a equação de von Neumann é um tipo de equação de Focker-Planck.
Existem muitos conceitos novos na física moderna. Imagine as imagens fractais que podem surgir por exemplo de um movimento browniano anômalo quântico? O movimento browniano anômalo já foi quantizado, ou seja, descrito matematicamente no domínio quântico, em um artigo publicado na Physics Letters A, no começo de 2003, pelo físico A.O.Bolivar.O aspecto geométrico desse tipo de movimento, todavia, não está bem claro e nem a interpretação da equação.
Até breve.
Thiago Prudêncio.
20/01/2004 13:47
De: mayumi
IP: 200.153.152.111-

Re: Inicial

 Oi Noemi...tudo bem com vc??Acho que vc deve perguntar sim, sem receios...acho que esse fórum é para isso mesmo!!Bom, gostaria que meus colegas de fórum ajudassem a responder à sua pergunta, e caso eu esteja equivocada, me perdoem...hehehehe!É que não tenho formação específica, tb sou fascinada com esse caos...rs!Bom, vou tentar responder às suas dúvidas:entendo que os fractais são estruturas extremamente complexas, que se repetem sim, mas sempre mudando, entende?Diria, (não tenho a pretensão de falar para vc que sei), mas pelo pouco que eu sei, creio que essa estrutura "começa" com por exemplo uma estrura , que ao se repetir forma outra...puxa, é muito difícil de explicar...desculpe-me, acho que não consegui esclarecer as suas dúvidas, mas posso tentar te ajudar com uma pequena bibliografia...
Qualquer coisa, me escreve...e pergunte sim, pois eu tenho tantas dúvidas quanto vc, e aqui temos a chance de tentar pelo menos falar sobre tais coisas!!Até,
     Mayumi
15/01/2004 18:31
De: Laércio Silva (laerciojus@hotmail.com)
IP: 201.4.238.246-

Re: Re: Re: Re: Monografia fractais

 Valeu, mais uma vez Mayumi...
 Eu achei legal você ter gostado do meu curso da UEMA, também faço outro só que na UFMA, direito. Sei que aparentemente não tem nada a ver, mas só a princípio...
 Eu, com certeza, quero os artigos que pegaste na net. Qualquer ajuda é bem vinda e a sua esta sendo muito proveitosa...
 mandarei outro e-mail meu: matherjus@bol.com.br
                            (mather - mtm e jus - direito)
          Desde já agradeço,
                           Laércio S. da Silva
 
24/07/2004 01:05
De: Karen Tardim
IP: 200.226.75.121-

Fractais em joias em artes

Achei muito interessante todas essas explicaCoes sobre fractais, esta certo que 'e bem complicado.
Sou estudante de desenho industrial-progamaCao visual e na faculdade me apresentaram o assunto, mas achei mais curioso quando resolvi fazer um curso de design em joias e la tambem o assunto me foi passado . Teve um exercicio para desenhar uma joia formada por fractais e a partir dai vi que tais repetiCoes nao sao tao simples de serem representadas como muitas vezes parecem, a criatividade em faze-las e formar belas obras inspira cada vez mais a novas composiCoes .
Acho que os fractais podem ser usados para tudo.
04/01/2004 08:16
De: Laércio Silva (laerciojus@hotmail.com)
IP: 200.249.144.231-

Re: Re: Monografia fractais

Mayumi,
    Desculpa-me, meu curso é ciências-hab. matemática.
      É um curso oferecido pela UEMA que leciona praticamente todas as disciplinas básicas em quase todas as áreas (biologia, quimica, geologia,fisica, etc.). Mas a maioria das disciplinas é voltada para a matemática.
      É um curso que está se extinguindo, pois foi feito pela necessidade do meu estado (maranhão) de carência de professores.
      Eu estou Necessitando de textos, livros, qualquer coisa que me ajude, não tem muita gente que conhece sobre o assunto aqui, até o orientador foi difícil de encontrar.
      Espero notícias suas!
      Ah! Se tiver algo sobre a dimensão de housdoff envie pra mim.
           Estou muito contente pela resposta,
           Obrigado,
                    Laércio
16/02/2004 22:13
De: Laércio (laerciojus@hotmail.com)
IP: 201.4.239.127-

Re: Re: Re: Re: Re: Re: Fractais aplicados à sistemas biológicos


   Odi,
Se encontrares alguma coisa sobre rugosidade me envie, veja se também encontra dimenssão de housdoff vai te ajudar muito, princiapalmente, se tu fores da área de geografia... Farei neste período uma disciplina chamada: elemneots de geologia. Se quiseres que te mande alguma coisa fique na disposição... Eu faço ciências-hab. matemática e direito, mas faço disciplinas em outra áreas devido ao meu primeiro curso... Ah! Ver se pesquisas sobre dimenssão topológica...
21/12/2003 18:02
De: mayumi
IP: 200.202.4.85-

Re: Re:

 Oi Bya!!Que legal que vc é artista plástica!!Adoro artes!!E ler Fritjof Capra é muito legal!!Li alguns livros dele tb!!!A teia da vida eu ainda não li, mas me interesso por lê-lo...bom, para vc fazer imagens, é meio complicado, pois ao importar imagens para outro programa como o Paint, sai uma msg na imagem, então, no caso do Ultrafractal vc vai ter que tentar outros métodos para conseguir a imagem(no caso de vc não querer pagar 49 dólares para ter a autorização).De programas de PC, eu sei do Ultrafractal, Fractint(que nunca consegui puxar), bem, não me lembro de outros no momento...de músca fractal, existem muitos músicos trabalhando com isso...um caso é Paul Copland...vou te mandar os endereços depois, pois não sei onde anotei..desculpa...mas se vc procurar por fractal music, vc acha fácil, mas é muito difícil conseguir o programa....estou tentando, mas não consigo...aliás, existem muuuuitos programas para gerar esse tipo de música...te disse né, minha monografia foi justamente isso!
 Então, logo, logo, te dou um toque...
                                Mayumi
09/08/2004 14:57
De: Thiago Prudêncio
IP: 200.175.179.241-

Fractais, a face Matemática

Andei estudando um pouquinho e resolvi apresentar algo ao Inforum, para discussões e sugestões proveitosas. Voilà.
O início do estudo da teoria geométrica da medida começa com Hausdorff em 1919, seguido por Besicovitch e Federer. Seus trabalhos entretanto eram demasiado técnicos para pessoas de outras áreas, geralmente só matemáticos tinham acesso. O ponto de bifurcação no estudo de dimensão surge então quando Mandelbrot passa a fazer uso de conjuntos com dimensão fracionária para modelar fenômenos científicos numa vastidão de áreas da ciência, cunhando o termo fractal.
    Mandelbrot definiu um fractal como um conjunto com dimensão de Hausdorff estritamente maior que sua dimensão topológica. Contudo, esta definição não é de todo apropriada uma vez que exclui alguns conjuntos altamente irregulares no espírito de fractais.
    Após Mandelbrot, o estudo de fractais foi disseminado. Outras definições de dimensão foram propostas. Em 1981, Tricot estudou 12 definições de dimensão em seu artigo intitulado “Douze definitions de la densité logarithmique”. A maioria das definições tem alguma restrição sobre a delta-cobertura considerada na definição de medida. Em algumas situações essas definições são mais apropriadas para aplicações que a dimensão de Hausdorff, como enfatizou Yomdin em 1983 no artigo “The geometry of critical and near-critical values of differentiable mappings”.
    Uma das definições alternativas de dimensão é a dimensão em caixa (Box dimension) proposta em 1961 por Kolmogorov. A dimensão em caixa é definida de modo análogo à de Hausdorff e é sempre maior ou igual a esta última. Infelizmente, embora seja fácil trabalhar com ela, a dimensão em caixa traz o inconveniente de ser igual para um conjunto e sua aderência. Assim, só vale a pena no caso de conjuntos fechados. Até mesmo para conjuntos compactos ela pode ser diferente da dimensão de Hausdorff. Mas há casos em que a dimensão em caixa dá resultados mais naturais, como mostrou Yomdin, no mesmo artigo citado acima.
    Um fato importante é que ao contrário da dimensão topológica, a dimensão de Hausdorff não é invariante a homeomorfismos, i.e., aplicações bijetivas contínuas com inversas contínuas. Todavia, a dimensão de Hausdorff é invariante às chamadas quasi-isometrias ou lipeomorfismos.
    Uma outra definição importante de dimensão é a dimensão de similaridade. Ela é única e positiva para conjuntos auto-similares. Conjuntos dessa natureza com dimensão fracionária são chamados fractais auto-similares, muitos deles encontrados por Mandelbrot ao fazer uso de processos iterativos usando um polígono inicial padrão. Hutchinson generalizou esse processo.
    Na definição de um conjunto auto-similar, há uma definição subjacente, a de similitude. Similitude é a composição de uma translação e uma homotetia. A definição de conjuntos auto-similares é um pouco técnica e requer alguns teoremas prévios, por isso não vou tentar explicar tudo, mesmo porque não sei tudo, rs. Mas vamos lá.
    Seja K um conjunto compacto invariante por um conjunto finito de contrações, o que equivale a dizer que a união de todas as contrações, desse conjunto, em K é o próprio K; um teorema garante que somente K pode ser invariante a esse conjunto, K é único.
    Agora, um ponto importante diz respeito à definição de métrica para medir distâncias entre conjuntos. Uma definição apropriada nesse sentido é a métrica de Hausdorff. Estamos acostumados com a definição de distância entre pontos, na verdade mais acostumados com a distância euclideana entre pontos, mas existem outras topologicamente equivalentes e mais simples.  Pode-se por extensão definir distância entre um ponto e um conjunto como o ínfimo das distâncias entre os pontos do conjunto e o ponto dado. A partir dessa definição, chega-se  à métrica de Hausdorff que trata da distância entre dois conjuntos compactos não vazios e é definida como segue: dados dois conjuntos compactos não-vazios E e F, a métrica de Hausdorff sobre E e F é o supremos das distâncias dos pontos de E a F e das distâncias dos pontos de F a E.
    Seja F um conjunto compacto não vazio e S a união das contrações e seja K um ponto fixo atrator de S, i. e., S(K)=K, se iterarmos  S(F)  n vezes com n tendendo a infinito, então esse conjunto converge para K na métrica de Hausdorff. Um teorema importante afirma que se K é auto-similar então sua dimensão de Hausdorff coincide com sua dimensão de similaridade.
    Exemplos de conjuntos auto-similares são: o conjunto de Cantor, invariante sob as similitudes S(x)=x/3 e S’(x)=(x+2)/3, com dimensão de Hausdorff igual a log2/log3; a curva de Koch gerada por quatro homotetias com razão de contração 1/3 cada e com dimensão de Hausdorff igual a log4/log3; e a curva de Peano, de dimensão de Hausdorff igual a 2.
    Uma outra definição importante é a de equivalência de Lipschitz de curvas auto-similares. Seja um mapa f inversível e Lipschitz (não vou definir o que é ser Lipschitz, não cabe aqui, embora não seja muito complicada, basta dizer que essa propriedade é como contração de medida quando se vai de um espaço para outro através da aplicação f). Dizemos então que f é uma quasi-isometria. Quasi-isometrias são casos especiais de homeomorfismos, enquanto que difeomorfismos são casos especiais de  quasi-isometrias. Se dois conjuntos são quasi-isométricos, i.e., se existe uma isometria que leva um no outro, então eles têm mesma dimensão de Hausdorff. O inverso é válido para conjuntos auto-similares, embora não o seja em geral.
Vou parar por aqui agora. Depois continuamos. Há muito o que estudar sobre esse tema. Temos por exemplo, os quasi-círculos, tipos especiais de curvas de Jordan, que têm propriedades que permitem entender certas classes de fractais, temos também o teorema de Ruelle que determina a dimensão de Hausdorff para uma classe de mapas analíticos do conjunto de Julia, e também uma classe recém descoberta de mapas não-analíticos com dimensão diferente da encontrada por Ruelle e que  também pertence ao conjunto de Julia. Além disso, ainda há a relação da teoria dos fractais com o cálculo diferencial, que permitiu entender mais claramente as funções de Weierstrass e outros tipos de funções estranhas, contínuas mas não diferenciáveis. Uma nova definição de classes C (C epsilon)  para funções cujo gráfico tem características fractais foi proposta, a fim de se ter condições menos restritivas de diferenciabilidade, de maneira semelhante à definição de integral de Lebesgue que torna menos restritivas as definições de integração impostas pela definição de integral de Riemann. Vale realmente a pena estudar essas coisas, rs.
A geometria fractal é realmente belíssima, pode tanto agradar visualmente como num campo não acessível à visão, o campo mais abstrato.
Um livro interessante, para quem quer aprender caos e introduzir-se matematicamente aos conjuntos de Julia e de Mandelbrot, conjuntos complexos, é o livro do Devaney, "Introduction to chaotic dynamical systems", também há artigos sobre fractais que são bastante instrutivos e introdutórios, o que facilita muito, infelizmente a maior parte da literatura especializada sobre o assunto encontra-se em outros idiomas, mas esse é um detalhe que pode ser superado.
Até breve.
Thiago Prudêncio.
27/08/2003 12:36
De: Carmen Maciel
IP: 200.214.93.213

Fractais

     Sou artista plastica e gostaria de receber qualquer informação ou imagem que possa me ajudar na pesquisa e execução do meu trabalho, neste meu mergulho  no maravilhoso e infinito mundo dos fractais.
Trabalho com encáustica, velha técnica dos grêgos, uma mistura de cêras e pigmentos sôbre um suporte firme.
Agradeço antecipado.
             Carmen
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